UPTET Maths: अध्याय 14 - आयतन और धारिता (घन और घनाभ)
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES में आपका स्वागत है। UPTET 2026 की परीक्षा में 'आयतन और धारिता (Volume and Capacity)' क्षेत्रमिति (Mensuration) का एक बहुत ही महत्वपूर्ण हिस्सा है। जहाँ परिमाप और क्षेत्रफल 2D आकृतियों (जैसे आयत, वर्ग) के लिए होते हैं, वहीं आयतन 3D आकृतियों (जैसे कमरा, डिब्बा) के लिए होता है। आइए घन (Cube) और घनाभ (Cuboid) के कॉन्सेप्ट को आसान ट्रिक्स के साथ समझते हैं।
1. आयतन और धारिता में अंतर (Difference between Volume & Capacity)
- आयतन (Volume): कोई भी वस्तु अंतरिक्ष (Space) में जितनी जगह घेरती है, उसे उस वस्तु का आयतन कहते हैं। इसकी इकाई हमेशा घन (Cubic) में होती है, जैसे- $ m^3 $ या $ cm^3 $।
- धारिता (Capacity): किसी खोखले बर्तन या डिब्बे के अंदर कितना तरल पदार्थ (पानी, दूध आदि) या हवा आ सकती है, उसे उसकी धारिता कहते हैं। इसे प्रायः लीटर (Liter) या मिलीलीटर (ml) में मापा जाता है।
2. घनाभ (Cuboid) के सूत्र और नियम
घनाभ एक ऐसी 3D आकृति है जिसकी लम्बाई (Length - $ L $), चौड़ाई (Breadth - $ B $) और ऊँचाई (Height - $ H $) अलग-अलग होती हैं (जैसे- माचिस की डिब्बी, ईंट या आपका कमरा)।
- आयतन (Volume - $ V $): $$ V = L \times B \times H $$
- सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल (Total Surface Area - $ TSA $): $$ TSA = 2 \times (L \times B + B \times H + H \times L) $$
- विकर्ण (Diagonal - $ D $): कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लम्बी छड़। $$ D = \sqrt{L^2 + B^2 + H^2} $$
3. घन (Cube) के सूत्र और नियम
घन एक ऐसी 3D आकृति है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों बिल्कुल बराबर होती हैं। मान लीजिए इसकी प्रत्येक भुजा $ a $ है (जैसे- लूडो का पासा)।
- आयतन (Volume - $ V $): $$ V = a^3 $$
- सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल (Total Surface Area - $ TSA $): $$ TSA = 6 \times a^2 $$
- विकर्ण (Diagonal - $ D $): $$ D = a\sqrt{3} $$
4. UPTET के लिए आयतन व धारिता का संबंध (VVI)
परीक्षा में अक्सर घन मीटर ($ m^3 $) को लीटर में बदलने के लिए कहा जाता है। इसे कंठस्थ कर लें:
$ 1000 $ घन सेंटीमीटर ($ 1000 cm^3 $) = $ 1 $ लीटर
5. UPTET परीक्षा के पैटर्न पर आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Short Tricks)
टाइप 1: कमरे में रखी जाने वाली सबसे लम्बी छड़ (Diagonal)
प्रश्न 1: एक कमरे की लम्बाई $ 12 $ मीटर, चौड़ाई $ 4 $ मीटर और ऊँचाई $ 3 $ मीटर है। उस कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लम्बी छड़ की लम्बाई क्या होगी?
हल:
👉 सबसे लम्बी छड़ का मतलब है कमरे का विकर्ण (Diagonal) निकालना।
👉 सूत्र: $ D = \sqrt{L^2 + B^2 + H^2} $
👉 $ D = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} $
👉 $ D = \sqrt{144 + 16 + 9} $
👉 $ D = \sqrt{169} = 13 $ मीटर。
उत्तर: सबसे लम्बी छड़ $ 13 $ मीटर की होगी।
टाइप 2: ईंटों / डिब्बों की संख्या ज्ञात करना (Number of Items)
जब किसी बड़ी जगह (दीवार या कमरा) में छोटी चीजें (ईंटें या डिब्बे) रखनी हों, तो हमेशा बड़े आयतन में छोटे आयतन का भाग देते हैं।
$$ N = \frac{V_1}{V_2} $$
(जहाँ $ N $ = संख्या, $ V_1 $ = बड़े आकार का आयतन, $ V_2 $ = छोटे आकार का आयतन)
प्रश्न 2: एक दीवार की लम्बाई $ 8 $ मीटर, ऊँचाई $ 6 $ मीटर और मोटाई $ 22.5 $ सेमी है। इसे बनाने में $ 25 $ सेमी $ \times $ $ 11.25 $ सेमी $ \times $ $ 6 $ सेमी माप वाली कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?
हल (Smart Trick):
सबसे पहले इकाइयों (Units) को समान करें। ईंटों की माप सेमी (cm) में है, इसलिए दीवार की लम्बाई और ऊँचाई को भी सेमी में बदल लें ($ 1 $ मीटर = $ 100 $ सेमी)।
👉 दीवार का आयतन ($ V_1 $) = $ 800 \times 600 \times 22.5 $
👉 ईंट का आयतन ($ V_2 $) = $ 25 \times 11.25 \times 6 $
👉 ईंटों की संख्या ($ N $) = $$ \frac{800 \times 600 \times 22.5}{25 \times 11.25 \times 6} $$
(यहाँ ध्यान दें कि $ 11.25 $ का दोगुना $ 22.5 $ होता है, अतः यह $ 2 $ बार में कट जाएगा। $ 6 $ से $ 600 $, $ 100 $ बार में कटेगा। $ 25 $ से $ 800 $, $ 32 $ बार में कटेगा।)
👉 $ N = 32 \times 100 \times 2 = 6400 $
उत्तर: कुल $ 6400 $ ईंटें लगेंगी।
टाइप 3: पिघलाकर नई आकृति बनाना (Melting and Recasting)
जब किसी धातु के बड़े घन या घनाभ को पिघलाकर छोटे घन बनाए जाते हैं, तब भी आयतन समान रहता है और हम भाग देने वाली ($ N = \frac{V_1}{V_2} $) ट्रिक का ही इस्तेमाल करते हैं।
प्रश्न 3: $ 15 $ सेमी भुजा वाले एक बड़े घन को पिघलाकर $ 3 $ सेमी भुजा वाले कितने छोटे घन बनाए जा सकते हैं?
हल:
👉 बड़े घन का आयतन = $ 15 \times 15 \times 15 $
👉 छोटे घन का आयतन = $ 3 \times 3 \times 3 $
👉 घनों की संख्या = $$ \frac{15 \times 15 \times 15}{3 \times 3 \times 3} $$
👉 काटने पर = $ 5 \times 5 \times 5 = 125 $
उत्तर: $ 125 $ छोटे घन बनेंगे।
📌 निष्कर्ष (Golden Wrap-up)
- संख्या निकालने वाले किसी भी प्रश्न में सबसे पहले यह जरूर चेक करें कि दोनों आकृतियों की इकाइयाँ (मीटर, सेंटीमीटर) बिल्कुल समान होनी चाहिए।
- आयतन का मतलब 3 बार गुणा करना है, इसलिए उत्तर में हमेशा 'घ
UPTET Maths: अध्याय 14 (भाग 2) - घन, घनाभ और धारिता के एडवांस इबारती प्रश्न
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES के इस विशेष अंक में आपका स्वागत है। आयतन (Volume) के पहले भाग में हमने घन और घनाभ के बेसिक सूत्र, सबसे लंबी छड़ (विकर्ण) और ईंटों की संख्या निकालना सीखा था। UPTET 2026 की परीक्षा में कुछ ऐसे प्रश्न भी आते हैं जिन्हें हल करने में काफी समय लगता है, जैसे- कमरे की दीवारों पर पेंट कराना या भुजाओं को दोगुना करना। आइए इन प्रश्नों को बिना X माने, केवल कुछ सेकंडों में हल करना सीखें।
1. कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल (Area of 4 Walls)
जब भी किसी कमरे की पुताई (Painting) या वॉलपेपर लगाने का प्रश्न आता है, तो हमें छत और फर्श को छोड़कर केवल चारों दीवारों का क्षेत्रफल निकालना होता है।
$$ A = 2 \times (L + B) \times H $$
(अर्थात: आधार का परिमाप $ \times $ ऊँचाई)
प्रश्न 1: एक कमरे की लम्बाई 10 मीटर, चौड़ाई 8 मीटर और ऊँचाई 5 मीटर है। कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:
👉 यहाँ $ L = 10 $, $ B = 8 $, $ H = 5 $
👉 सूत्र: $ A = 2 \times (L + B) \times H $
👉 $ A = 2 \times (10 + 8) \times 5 $
👉 $ A = 2 \times 18 \times 5 = 180 $ वर्ग मीटर。
उत्तर: चारों दीवारों का क्षेत्रफल 180 वर्ग मीटर होगा।
2. भुजाओं को n-गुना करने पर प्रभाव (Effect of Changing Dimensions)
UPTET में सीधा प्रश्न आता है कि "यदि किसी घन की भुजा दोगुनी कर दी जाए, तो उसका आयतन कितने गुना हो जाएगा?" इसके लिए आपको पूरा सवाल हल करने की जरूरत नहीं है।
यदि किसी 3D आकृति (घन) की भुजा को n गुना कर दिया जाए, तो:
👉 उसका नया परिमाप $ n $ गुना हो जाता है।
👉 उसका नया क्षेत्रफल (Area) $ n^2 $ गुना हो जाता है।
👉 उसका नया आयतन (Volume) $ n^3 $ गुना हो जाता है।
प्रश्न 2: यदि किसी घन की प्रत्येक भुजा को दोगुना (2 गुना) कर दिया जाए, तो उसके आयतन पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
हल:
👉 यहाँ $ n = 2 $ है।
👉 ट्रिक के अनुसार, नया आयतन $ n^3 $ गुना हो जाएगा।
👉 $ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $
उत्तर: आयतन 8 गुना हो जाएगा।
3. अनुपात वाले प्रश्न (Ratio of Volume and Area)
जब दो घनों की भुजाओं का अनुपात दिया हो, तो उनके क्षेत्रफल और आयतन का अनुपात सीधा निकाला जा सकता है।
प्रश्न 3: दो घनों की भुजाओं का अनुपात 3 : 4 है। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?
हल:
👉 भुजाओं का अनुपात = $ a : b = 3 : 4 $
👉 आयतनों का अनुपात = $ a^3 : b^3 $
👉 $ 3^3 : 4^3 = 27 : 64 $
उत्तर: आयतनों का अनुपात 27 : 64 होगा।
4. टंकी की धारिता लीटर में ज्ञात करना (Capacity in Liters)
इस टाइप के प्रश्नों में घनाभाकार (Cuboidal) टंकी की माप दी जाती है और पूछा जाता है कि उसमें कितने लीटर पानी आएगा।
- यदि आयतन घन मीटर ($ m^3 $) में है, तो 1000 से गुणा करने पर लीटर (Liters) बनता है।
- यदि आयतन घन सेंटीमीटर ($ cm^3 $) में है, तो 1000 से भाग देने पर लीटर बनता है।
प्रश्न 4: एक पानी की टंकी 2 मीटर लंबी, 1.5 मीटर चौड़ी और 1 मीटर गहरी है। इस टंकी में कुल कितने लीटर पानी आ सकता है?
हल:
👉 सबसे पहले टंकी का आयतन घन मीटर ($ m^3 $) में निकालें।
👉 $ V = L \times B \times H $
👉 $ V = 2 \times 1.5 \times 1 = 3 $ $ m^3 $ (घन मीटर)。
👉 लीटर में धारिता = $ 3 \times 1000 = 3000 $ लीटर。
उत्तर: टंकी में 3000 लीटर पानी आएगा।
📌 निष्कर्ष (Golden Wrap-up)
- जब किसी बक्से को 'बिना ढक्कन' (Without lid) का बताया जाए, तो उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए सम्पूर्ण पृष्ठ में से ऊपर वाली सतह (छत) का क्षेत्रफल ($ L \times B $) घटा दें।
- कमरे की दीवारों पर पेंटिंग का खर्च निकालते समय, हमेशा $ 2(L+B) \times H $ का ही प्रयोग करें।
🔥 SK SACHIN CLASSES MEGA QUIZ 🔥
आयतन और धारिता के दोनों भागों की थ्योरी पूरी हो चुकी है। अब अपनी तैयारी को अंतिम रूप देने के लिए तैयार हो जाइए! हम आपके लिए इस अध्याय के टॉप 50 PYQ प्रश्नों का मेगा क्विज तैयार कर रहे हैं।
UPTET Maths: अध्याय 14 (भाग 3) - धारिता के व्यावहारिक एवं भिन्नात्मक प्रश्न
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES के इस विशेष अंक में आपका स्वागत है। आयतन और धारिता के इस अंतिम भाग में हम दैनिक जीवन से जुड़े उन इबारती (Word Problems) प्रश्नों को हल करेंगे जो UPTET Paper 1 में सबसे ज्यादा पूछे जाते हैं। इनमें बड़ी बाल्टी या टंकी से छोटी बोतलें भरना, और टंकी के कुछ हिस्से (भिन्न) का भरा होना शामिल है। आइए इन्हें स्मार्ट ट्रिक्स के साथ समझते हैं।
1. बड़ी धारिता से छोटे बर्तन (बोतलें) भरना
जब किसी बड़े बर्तन (जैसे बाल्टी या ड्रम) के द्रव को छोटे बर्तनों (जैसे बोतल या मग) में पलटना हो, तो बर्तनों की संख्या निकालने के लिए हम हमेशा कुल धारिता में एक छोटे बर्तन की धारिता का भाग देते हैं।
ध्यान दें: भाग देने से पहले दोनों की इकाइयाँ (Unit) समान होनी चाहिए (यानी दोनों लीटर में हों, या दोनों मिलीलीटर में)। 1 लीटर = 1000 मिलीलीटर (ml)।
हल:
👉 कुल दूध = 15 लीटर。
👉 इसे मिलीलीटर में बदलें: 15 × 1000 = 15000 मिलीलीटर。
👉 एक बोतल की धारिता = 250 मिलीलीटर。
👉 बोतलों की संख्या = 15000 / 250
👉 0 से 0 काटें: 1500 / 25 = 60
उत्तर: कुल 60 बोतलें भरी जा सकती हैं।
2. टंकी का भिन्नात्मक भाग (Fractional Part of a Tank)
UPTET का यह सबसे पसंदीदा सवाल है। इसमें टंकी का कुछ भाग भरा होता है और उसे पूरा भरने के लिए आवश्यक पानी की मात्रा दी जाती है।
हल (Smart Trick):
👉 टंकी का भरा हुआ भाग = 3/4
👉 इसका मतलब है कि यदि टंकी के 4 हिस्से किए जाएं, तो 3 हिस्से भरे हैं।
👉 खाली भाग = 1 - 3/4 = 1/4 (यानी 4 में से 1 हिस्सा खाली है)।
👉 प्रश्नानुसार, यही खाली भाग (1/4) 50 लीटर के बराबर है।
👉 1/4 भाग = 50 लीटर
👉 कुल धारिता (पूरा 1 भाग) = 50 × 4 = 200 लीटर。
उत्तर: टंकी की कुल धारिता 200 लीटर है।
3. दवा की बोतलों / पैकेट वाले प्रश्न
कई बार प्रश्न में मिलीग्राम (mg) और ग्राम (g) का उपयोग होता है। 1 ग्राम = 1000 मिलीग्राम (mg)
हल:
👉 कुल दवा = 500 ग्राम。
👉 इसे मिलीग्राम में बदलें: 500 × 1000 = 500,000 मिलीग्राम (mg)।
👉 एक गोली का वजन = 25 mg。
👉 गोलियों की संख्या = 500000 / 25
👉 500 में 25 का भाग दें तो 20 आता है, और पीछे की 3 जीरो लगा दें = 20,000
उत्तर: कुल 20,000 गोलियां बनाई जा सकती हैं।
📌 निष्कर्ष (Golden Wrap-up)
- धारिता के किसी भी प्रश्न में सबसे पहले यह चेक करें कि बड़ी मात्रा और छोटी मात्रा दोनों एक ही पैमाने (ml, mg, cm) पर हों।
- भिन्न वाले प्रश्नों में हमेशा "खाली भाग = 1 - भरा हुआ भाग" निकालकर उसे दी गई लीटर मात्रा के बराबर रख दें।
🔥 SK SACHIN CLASSES MEGA QUIZ 🔥
आयतन और धारिता (Volume and Capacity) के तीनों भागों (Part 1, 2 और 3) की थ्योरी अब 100% पूरी हो चुकी है। परीक्षा में अपना एक भी अंक न कटने देने के लिए, जल्द ही आने वाले टॉप 50 PYQ क्विज का अभ्यास जरूर करें।
अध्याय 14: आयतन और धारिता (Volume & Capacity)
- 📝 कुल प्रश्न : 50
- ✅ सही उत्तर : 0
- ❌ गलत उत्तर : 0
- 📊 Accuracy : 0%
- ⏱️ Time Taken : 00:00
टिप्पणियाँ
एक टिप्पणी भेजें