UPTET Maths: अध्याय 12 - परिमाप (Perimeter) का सम्पूर्ण अध्ययन
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES में आपका स्वागत है। UPTET 2026 की परीक्षा में क्षेत्रमिति (Mensuration) के अंतर्गत 'परिमाप (Perimeter)' एक अत्यंत स्कोरिंग अध्याय है। इस अध्याय से त्रिभुज, आयत और वर्ग की बाहरी सीमाओं से जुड़े प्रश्न आते हैं, जैसे- खेत के चारों ओर तार लगाना या एक आकृति को मोड़कर दूसरी आकृति बनाना। आइए इसे बिल्कुल आसान तरीके से समझते हैं।
1. परिमाप (Perimeter) क्या है?
किसी भी बंद 2D आकृति (2D Shape) की बाहरी सीमा (Outer Boundary) की कुल लंबाई को ही उस आकृति का परिमाप या परमिति कहते हैं।
👉 आसान भाषा में: यदि आप किसी आकृति के एक कोने से चलना शुरू करें और उसकी बाहरी लाइन पर चलते हुए वापस उसी कोने पर आ जाएं, तो आपके द्वारा तय की गई कुल दूरी ही परिमाप है।
इकाई (Unit): परिमाप हमेशा मीटर (m), सेंटीमीटर (cm), मिलीमीटर (mm) आदि में मापा जाता है (इसमें वर्ग या स्क्वायर नहीं लगता)।
2. महत्वपूर्ण आकृतियों के परिमाप के सूत्र (Formulas)
तीनों भुजाओं का योग। (मान लें भुजाएं $a, b, c$ हैं)
👉 विषमबाहु (Scalene): $ P = a + b + c $
👉 समबाहु (Equilateral): चूँकि तीनों भुजाएं बराबर होती हैं, अतः $ P = 3 \times a $
आयत में आमने-सामने की भुजाएं बराबर होती हैं। (लम्बाई = $L$, चौड़ाई = $B$)
👉 सूत्र: $$ P = 2 \times (L + B) $$
वर्ग की चारों भुजाएं (Side = $a$) समान होती हैं。
👉 सूत्र: $$ P = 4 \times a $$
किसी भी अनियमित चतुर्भुज का परिमाप उसकी चारों भुजाओं का योग होता है。
👉 सूत्र: $ P = a + b + c + d $
3. UPTET परीक्षा के पैटर्न पर आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न
टाइप 1: साधारण सूत्र पर आधारित प्रश्न
प्रश्न 1: एक आयताकार खेत की लंबाई $ 40 $ मीटर और चौड़ाई $ 25 $ मीटर है। उस खेत का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
👉 यहाँ $ L = 40 $, $ B = 25 $
👉 आयत का परिमाप = $ 2 \times (L + B) $
👉 $ P = 2 \times (40 + 25) $
👉 $ P = 2 \times 65 = 130 $ मीटर。
उत्तर: $ 130 $ मीटर।
टाइप 2: बाड़ (Fencing) लगाने या तार लपेटने का खर्च
खेत के "चारों ओर" तार लगाने का मतलब है कि हमें उसका परिमाप (Perimeter) निकालना है, क्षेत्रफल नहीं।
प्रश्न 2: $ 15 $ मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार मैदान के चारों ओर तार की बाड़ लगानी है। यदि तार लगाने का खर्च $ 10 $ रुपये प्रति मीटर है, तो कुल खर्च कितना होगा?
हल:
👉 वर्गाकार मैदान की भुजा ($a$) = $ 15 $ मीटर。
👉 मैदान का परिमाप = $ 4 \times a = 4 \times 15 = 60 $ मीटर。
(यानी कुल $ 60 $ मीटर लंबा तार चाहिए)।
👉 $ 1 $ मीटर का खर्च = $ 10 $ रुपये。
👉 कुल खर्च = $ 60 \times 10 = 600 $ रुपये。
उत्तर: कुल खर्च $ 600 $ रुपये होगा।
टाइप 3: अज्ञात भुजा (Missing Side) ज्ञात करना
प्रश्न 3: एक त्रिभुज का परिमाप $ 45 $ सेमी है। यदि इसकी दो भुजाएं क्रमशः $ 15 $ सेमी और $ 18 $ सेमी हैं, तो तीसरी भुजा की लंबाई क्या होगी?
हल:
👉 त्रिभुज का परिमाप = तीनों भुजाओं का योग ($ a + b + c $)
👉 $ 45 = 15 + 18 + c $
👉 $ 45 = 33 + c $
👉 $ c = 45 - 33 = 12 $ सेमी。
उत्तर: तीसरी भुजा $ 12 $ सेमी होगी।
टाइप 4: UPTET का सबसे पसंदीदा - तार मोड़ने वाले प्रश्न (Wire Bending Tricks)
स्वर्ण नियम (Golden Rule): जब भी किसी तार को मोड़कर एक आकृति से दूसरी आकृति बनाई जाती है, तो दोनों आकृतियों का परिमाप (Perimeter) हमेशा समान (Equal) रहता है, चाहे क्षेत्रफल कुछ भी हो।
प्रश्न 4: एक तार $ 22 $ सेमी भुजा वाले वर्ग के आकार में है। यदि इसे खोलकर एक आयत बनाया जाए जिसकी लंबाई $ 25 $ सेमी हो, तो आयत की चौड़ाई कितनी होगी?
हल (Smart Trick):
👉 तार की कुल लंबाई = वर्ग का परिमाप = $ 4 \times 22 = 88 $ सेमी。
चूंकि इसी तार से आयत बना है, इसलिए आयत का परिमाप भी $ 88 $ सेमी होगा।
👉 आयत का परिमाप = $ 2 \times (L + B) $
👉 $ 88 = 2 \times (25 + B) $
$ 2 $ से $ 88 $ को काटें:
👉 $ 44 = 25 + B $
👉 $ B = 44 - 25 = 19 $ सेमी。
उत्तर: आयत की चौड़ाई $ 19 $ सेमी होगी।
📌 निष्कर्ष और अंतिम टिप्स
- जब प्रश्न में "चारों ओर चक्कर लगाना", "बाड़ लगाना" या "किनारे-किनारे चलना" लिखा हो, तो हमेशा परिमाप (Perimeter) निकालें।
- यदि किसी आयत और वर्ग का परिमाप समान हो, तो वर्ग का क्षेत्रफल हमेशा आयत के क्षेत्रफल से अधिक होता है। (यह UPTET का एक सीधा सैद्धांतिक प्रश्न है, इसे याद रखें)।
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परिमाप के इन नियमों को अच्छी तरह से अपनी कॉपी में नोट कर लें। यह टॉपिक परीक्षा में आपके 1-2 अंक पक्के करेगा।
UPTET Maths: अध्याय 12 (भाग 2) - परिमाप व परिधि के एडवांस इबारती प्रश्न
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES के इस विशेष अंक में आपका स्वागत है। परिमाप के पहले भाग में हमने त्रिभुज, आयत और वर्ग के बेसिक सूत्र और तार मोड़ने वाले प्रश्न हल किए थे। UPTET 2026 की परीक्षा में कुछ एडवांस इबारती प्रश्न भी पूछे जाते हैं, जैसे- पहिए के चक्कर वाले प्रश्न और वृत्ताकार मैदान की परिधि। आइए इन सभी एडवांस टॉपिक्स को शानदार ट्रिक्स के साथ कवर करते हैं।
1. तार या बाड़ के कई चक्कर लगाना (Multiple Rounds of Fencing)
जब किसी खेत या मैदान के चारों ओर तार के एक से अधिक चक्कर (Rounds) लगाए जाते हैं, तो कुल आवश्यक तार की लंबाई परिमाप और चक्करों की संख्या के गुणनफल के बराबर होती है।
$$ Total Length = P \times N $$
(जहाँ $P$ = परिमाप और $N$ = चक्करों की संख्या)
प्रश्न 1: एक आयताकार मैदान की लंबाई $ 50 $ मीटर और चौड़ाई $ 30 $ मीटर है। इसके चारों ओर कंटीले तार के $ 3 $ चक्कर लगाने हैं। कुल कितने मीटर तार की आवश्यकता होगी?
हल:
👉 $ L = 50 $, $ B = 30 $
👉 $ 1 $ चक्कर में लगा तार = आयत का परिमाप ($P$)
👉 $ P = 2 \times (50 + 30) = 2 \times 80 = 160 $ मीटर。
👉 $ 3 $ चक्करों के लिए कुल तार = $ 160 \times 3 = 480 $ मीटर。
उत्तर: $ 480 $ मीटर तार चाहिए।
2. वृत्त की परिधि (Circumference of a Circle)
वृत्त (Circle) के परिमाप को ही उसकी 'परिधि' कहा जाता है। UPTET में त्रिज्या (Radius) या व्यास (Diameter) देकर परिधि पूछी जाती है।
👉 परिधि ($C$) = $$ 2 \pi r $$ (जब त्रिज्या $r$ दी हो)
👉 परिधि ($C$) = $$ \pi d $$ (जब व्यास $d$ दिया हो)
(नोट: $ \pi $ का मान सामान्यतः $ \frac{22}{7} $ लिया जाता है)
प्रश्न 2: एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या $ 14 $ मीटर है। पार्क की परिधि ज्ञात कीजिए।
हल:
👉 यहाँ $ r = 14 $ मीटर。
👉 परिधि ($C$) = $ 2 \times \frac{22}{7} \times 14 $
👉 $ 7 $ से $ 14 $ को काटें ($2$ बार में)।
👉 $ C = 2 \times 22 \times 2 = 88 $ मीटर。
उत्तर: $ 88 $ मीटर।
3. UPTET का सबसे महत्वपूर्ण टाइप: पहिए के चक्कर वाले प्रश्न
यह प्रश्न क्षेत्रमिति (Mensuration) का सबसे ट्रिकी सवाल माना जाता है। एक पहिया (Wheel) अपने एक पूरे चक्कर (One Revolution) में अपनी परिधि के बराबर दूरी तय करता है।
$$ D = N \times 2 \pi r $$
(जहाँ $D$ = कुल तय की गई दूरी, और $N$ = चक्करों की संख्या)
प्रश्न 3: एक साइकिल के पहिए की त्रिज्या $ 35 $ सेमी है। $ 500 $ चक्कर लगाने में पहिया कितनी दूरी (मीटर में) तय करेगा?
हल:
👉 $ 1 $ चक्कर में तय दूरी = पहिए की परिधि = $ 2 \times \frac{22}{7} \times 35 $
👉 $ 7 $ से $ 35 $ को काटें ($5$ बार में): $ 2 \times 22 \times 5 = 220 $ सेमी。
👉 $ 500 $ चक्करों में कुल दूरी = $ 220 \times 500 = 110000 $ सेमी。
चूँकि उत्तर मीटर में पूछा गया है, और $ 1 $ मीटर = $ 100 $ सेमी होता है:
👉 कुल दूरी (मीटर में) = $ \frac{110000}{100} = 1100 $ मीटर。
उत्तर: $ 1100 $ मीटर।
4. परिमापों का अनुपात (Ratio of Perimeters)
जब दो आकृतियों (जैसे दो वर्गों या दो समबाहु त्रिभुजों) की भुजाओं का अनुपात दिया हो, तो उनके परिमापों का अनुपात भी बिल्कुल वही होता है जो उनकी भुजाओं का होता है।
प्रश्न 4: दो वर्गों की भुजाओं का अनुपात $ 3 : 4 $ है। उनके परिमापों का अनुपात क्या होगा?
हल (बिना पेन उठाए):
👉 जो अनुपात भुजाओं का होता है, वही अनुपात परिमाप का होता है।
👉 अतः परिमापों का अनुपात भी $ 3 : 4 $ ही होगा。
उत्तर: $ 3 : 4 $
📌 अंतिम महत्वपूर्ण टिप्स
- पहिए वाले प्रश्नों में हमेशा ध्यान रखें कि त्रिज्या सेंटीमीटर (cm) में है या मीटर (m) में। अंत में उत्तर के अनुसार इकाई (Unit) जरूर बदलें।
- अर्धवृत्त (Semicircle) का परिमाप $ \pi r + 2r $ होता है, न कि केवल $ \pi r $। इसमें नीचे वाला व्यास ($ 2r $) भी जुड़ता है।
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परिमाप और परिधि के पार्ट 1 और पार्ट 2 के सभी कॉन्सेप्ट्स पूरे हो चुके हैं।
UPTET Maths: अध्याय 12 (भाग 3) - अनियमित आकृतियाँ और अर्धवृत्त का परिमाप
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES के इस विशेष अंक में आपका स्वागत है। परिमाप के पहले और दूसरे भाग में हमने त्रिभुज, आयत, वर्ग और वृत्त को कवर किया था। UPTET 2026 के नए पैटर्न में अक्सर सीढ़ियों जैसी (Staircase) या L-आकार की आकृतियाँ देकर उनका परिमाप पूछ लिया जाता है। इसके अलावा 'अर्धवृत्त' छात्रों को बहुत कंफ्यूज करता है। आइए इन एडवांस प्रश्नों की शॉर्ट ट्रिक्स को समझते हैं।
1. अनियमित (L-आकार / सीढ़ीनुमा) आकृतियों का परिमाप
जब परीक्षा में कोई ऐसी आकृति दी जाए जो आयत या वर्ग जैसी न हो, बल्कि उसमें कई सारे मोड़ (Cuts) हों, तो छात्र अक्सर सारी छोटी-छोटी भुजाओं को जोड़ने में गलती कर देते हैं।
किसी भी सीढ़ीनुमा (Staircase) या L-आकार की आकृति (जिसमें सभी कोण $ 90^\circ $ हों) का परिमाप, उस पूर्ण आयत (Complete Rectangle) के परिमाप के बिल्कुल बराबर होता है, जो उन बाहरी भुजाओं से मिलकर बन सकता है।
अर्थात, अंदर धंसी हुई लाइनों को बाहर की तरफ खिसका (Shift कर) दें, तो वह एक पूरा आयत बन जाएगा।
प्रश्न 1: एक L-आकार के खेत की अधिकतम लंबाई $ 20 $ मीटर और अधिकतम चौड़ाई $ 15 $ मीटर है। इसके अंदर कई $ 90^\circ $ के मोड़ हैं। इसका कुल परिमाप क्या होगा?
हल (Smart Trick):
👉 हमें अंदर के मोड़ों की छोटी लंबाइयों को जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है।
👉 शिफ्टिंग ट्रिक के अनुसार, यह आकृति एक $ 20 $ मीटर लंबे और $ 15 $ मीटर चौड़े पूर्ण आयत के बराबर ही परिमाप देगी।
👉 परिमाप ($P$) = $ 2 \times (L + B) $
👉 $ P = 2 \times (20 + 15) $
👉 $ P = 2 \times 35 = 70 $ मीटर。
उत्तर: परिमाप $ 70 $ मीटर होगा।
2. अर्धवृत्त का परिमाप (Perimeter of Semicircle)
यह UPTET का एक 'ट्रैप' (फंसाने वाला) सवाल है। ज्यादातर छात्र पूरे वृत्त की परिधि ($ 2\pi r $) का आधा करके केवल $ \pi r $ उत्तर निकाल देते हैं, जो कि गलत है।
जब आप किसी वृत्त को आधा काटते हैं, तो ऊपर की गोलाई के साथ-साथ नीचे एक सीधी रेखा (व्यास / Diameter) भी बन जाती है। परिमाप में हमें इस सीधी रेखा को भी जोड़ना पड़ता है।
$$ P = \pi r + 2r $$
(जहाँ $ \pi r $ = ऊपर की गोलाई का हिस्सा, और $ 2r $ = नीचे की सीधी रेखा या व्यास)
इसे ऐसे भी लिख सकते हैं: $$ P = r(\pi + 2) $$
प्रश्न 2: एक अर्धवृत्ताकार पार्क की त्रिज्या $ 7 $ मीटर है। इस पार्क के चारों ओर बाड़ लगाने के लिए कितने मीटर लंबे तार की आवश्यकता होगी? ($ \pi = \frac{22}{7} $)
हल:
👉 यहाँ $ r = 7 $ मीटर。
👉 अर्धवृत्त का परिमाप ($P$) = $ \pi r + 2r $
👉 $ P = (\frac{22}{7} \times 7) + (2 \times 7) $
👉 $ 7 $ से $ 7 $ कट गया, अतः गोलाई वाला भाग = $ 22 $ मीटर。
👉 सीधी रेखा (व्यास) वाला भाग = $ 14 $ मीटर。
👉 कुल परिमाप = $ 22 + 14 = 36 $ मीटर。
उत्तर: $ 36 $ मीटर तार की आवश्यकता होगी।
3. कमरे के फर्श और किनारे (Skirting / Border) वाले प्रश्न
जब किसी कमरे के फर्श के किनारे-किनारे टाइल्स या बॉर्डर लगानी हो, तो वहाँ भी परिमाप का ही सूत्र लगता है।
प्रश्न 3: एक कमरे की लंबाई $ 8 $ मीटर और चौड़ाई $ 6 $ मीटर है। फर्श के किनारे-किनारे स्कर्टिंग (Border) लगानी है। यदि स्कर्टिंग लगाने का खर्च $ 15 $ रुपये प्रति मीटर हो, तो कुल खर्च कितना आएगा? (दरवाजे की जगह $ 2 $ मीटर छोड़नी है)।
हल:
👉 सबसे पहले कमरे का कुल परिमाप निकालें।
👉 $ P = 2 \times (8 + 6) = 2 \times 14 = 28 $ मीटर。
👉 चूंकि दरवाजे पर स्कर्टिंग नहीं लगेगी, इसलिए दरवाजे की चौड़ाई ($ 2 $ मीटर) को घटा दें।
👉 आवश्यक लंबाई = $ 28 - 2 = 26 $ मीटर。
👉 कुल खर्च = $ 26 $ मीटर $ \times 15 $ रुपये/मीटर = $ 390 $ रुपये。
उत्तर: कुल खर्च $ 390 $ रुपये आएगा।
📌 निष्कर्ष (Golden Wrap-up)
- L-आकार की आकृतियों में यदि सभी कोण समकोण ($ 90^\circ $) हैं, तो उनका परिमाप हमेशा उन्हें घेरने वाले सबसे बड़े आयत के परिमाप के बराबर होता है।
- अर्धवृत्त के परिमाप में हमेशा गोलाई ($ \pi r $) के साथ-साथ आधार ($ 2r $ या व्यास) को जोड़ना कभी न भूलें।
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परिमाप (Perimeter) के सभी कॉन्सेप्ट्स (Part 1, 2 और 3) अब पूरी तरह से समाप्त हो चुके हैं। अपनी परीक्षा की तैयारी को ठोस करने के लिए, हमारी वेबसाइट पर उपलब्ध टॉप 50 PYQ क्विज का अभ्यास जरूर करें।
अध्याय 12: परिमाप (Perimeter) - Part 1, 2 & 3
- 📝 कुल प्रश्न : 50
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