UPTET Maths: अध्याय 5 - ऐकिक नियम (Unitary Method) का सम्पूर्ण अध्ययन 
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES के इस बेहतरीन और ज्ञानवर्धक अंक में आपका स्वागत है। UPTET Paper 1 की परीक्षा में 'ऐकिक नियम (Unitary Method)' गणित का एक ऐसा अध्याय है, जिसका उपयोग केवल परीक्षा में ही नहीं बल्कि हमारे दैनिक जीवन में भी हर दिन होता है। आज हम इस अध्याय को बिल्कुल शून्य स्तर (Basic Level) से लेकर एडवांस ट्रिक्स (जैसे MDH Rule) के साथ समझेंगे।
1. ऐकिक नियम क्या है? (What is Unitary Method?)
गणित में 'ऐकिक' शब्द 'एक' (Unit) से बना है। जब हमें कई वस्तुओं का मूल्य या मात्रा दी गई हो, तो सबसे पहले एक वस्तु (1 Unit) का मान निकालना और फिर उस 'एक' के मान की मदद से पूछी गई अनेक वस्तुओं का मान निकालने की प्रक्रिया ही ऐकिक नियम कहलाती है।
इसके दो मुख्य चरण (Steps) होते हैं:
- चरण 1 (भाग देना): अनेक वस्तुओं के मान से 1 वस्तु का मान निकालना। (हमेशा भाग $ \div $ करें)
- चरण 2 (गुणा करना): 1 वस्तु के मान से पूछी गई अनेक वस्तुओं का मान निकालना। (हमेशा गुणा $ \times $ करें)
2. ऐकिक नियम में अनुपात के प्रकार (Types of Proportion)
UPTET में प्रश्न हल करते समय यह पहचानना बहुत जरूरी है कि प्रश्न में कौन सा अनुपात लागू हो रहा है। यह दो प्रकार का होता है:
जब एक राशि के बढ़ने पर दूसरी राशि भी बढ़े, या एक के घटने पर दूसरी भी घटे।
उदाहरण: वस्तुओं की संख्या और उनका मूल्य। अगर $5$ पेन $50$ रुपये के हैं, तो $10$ पेन ज्यादा रुपये ($100$ रुपये) के होंगे।
👉 नियम: $ \text{कम के लिए भाग } (\div), \text{ ज्यादा के लिए गुणा } (\times) $
जब एक राशि के बढ़ने पर दूसरी राशि घटे, या एक के घटने पर दूसरी बढ़े।
उदाहरण: आदमियों की संख्या और काम करने के दिन। अगर $10$ आदमी किसी काम को $20$ दिन में करते हैं, तो $20$ आदमी उस काम को कम दिनों ($10$ दिन) में ही खत्म कर देंगे।
👉 नियम: यहाँ 1 इकाई (Unit) का मान निकालने के लिए गुणा ($ \times $) करना पड़ता है।
3. ⚡ UPTET स्पेशल शॉर्ट ट्रिक: MDH का नियम (The MDH Rule)
जब प्रश्न में 'आदमी (Men)', 'दिन (Days)', 'घंटे (Hours)' और 'काम/मजदूरी (Work/Wages)' एक साथ आ जाएँ, तो बेसिक तरीके से हल करने में बहुत समय लगता है। ऐसे में हम MDH फॉर्मूला का उपयोग करते हैं:
सूत्र (Formula)
$$ \frac{M_1 \times D_1 \times H_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2 \times H_2}{W_2} $$
- M (Men): आदमियों / महिलाओं / मशीनों की संख्या
- D (Days): दिनों की संख्या
- H (Hours): प्रतिदिन काम के घंटे
- W (Work): किया गया काम, या मिलने वाली मजदूरी (रुपये), या खपत। (यह हमेशा नीचे रखा जाता है)
4. UPTET स्तर के महत्वपूर्ण हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
टाइप 1: सीधा अनुपात (मूल्य और मात्रा)
प्रश्न 1: यदि $15$ कॉपियों का मूल्य $225$ रुपये है, तो ऐसी ही $25$ कॉपियों का मूल्य क्या होगा?
हल:
👉 चूँकि $15$ कॉपियों का मूल्य $= 225$ रुपये
👉 इसलिए, $1$ कॉपी का मूल्य $= \frac{225}{15} = 15$ रुपये (भाग किया)
👉 अतः, $25$ कॉपियों का मूल्य $= 15 \times 25 = 375$ रुपये (गुणा किया)
उत्तर: $375$ रुपये।
टाइप 2: विलोम अनुपात (काम और समय)
प्रश्न 2: $12$ मजदूर किसी दीवार को $20$ दिन में बना सकते हैं। उसी दीवार को $15$ मजदूर कितने दिन में बनाएंगे?
हल (बेसिक तरीका):
👉 चूँकि $12$ मजदूर लगाते हैं $= 20$ दिन
👉 इसलिए, $1$ मजदूर लगाएगा $= 20 \times 12 = 240$ दिन (यहाँ $1$ मजदूर को ज्यादा समय लगेगा, इसलिए गुणा किया)
👉 अतः, $15$ मजदूर लगाएंगे $= \frac{240}{15} = 16$ दिन
उत्तर: $16$ दिन।
टाइप 3: MDH ट्रिक पर आधारित (UPTET का सबसे पसंदीदा पैटर्न)
प्रश्न 3: यदि $10$ मकड़ियाँ $10$ दिन में $10$ जाले बनाती हैं, तो $1$ मकड़ी $1$ जाला कितने दिन में बनाएगी?
हल (MDH ट्रिक से):
यहाँ मकड़ियाँ $M$ हैं, दिन $D$ हैं, और जाले बनाना उनका काम $(W)$ है।
👉 $M_1 = 10, D_1 = 10, W_1 = 10$
👉 $M_2 = 1, W_2 = 1, D_2 = ?$ (पूछा गया है)
सूत्र से: $$ \frac{M_1 \times D_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2}{W_2} $$
👉 $$ \frac{10 \times 10}{10} = \frac{1 \times D_2}{1} $$
👉 $10 = D_2$
उत्तर: $1$ मकड़ी $1$ जाला $10$ दिन में बनाएगी। (अक्सर छात्र जल्दबाजी में इसका उत्तर $1$ दिन दे देते हैं, जो गलत है।)
प्रश्न 4: यदि $20$ आदमी प्रतिदिन $8$ घंटे काम करके किसी काम को $15$ दिन में पूरा करते हैं, तो $15$ आदमी प्रतिदिन कितने घंटे काम करें कि काम $20$ दिन में पूरा हो जाए?
हल (MDH ट्रिक से):
👉 $M_1 = 20, D_1 = 15, H_1 = 8$
👉 $M_2 = 15, D_2 = 20, H_2 = ?$
चूँकि काम समान है, इसलिए $W$ की जरूरत नहीं है:
👉 $$ M_1 \times D_1 \times H_1 = M_2 \times D_2 \times H_2 $$
👉 $$ 20 \times 15 \times 8 = 15 \times 20 \times H_2 $$
👉 दोनों तरफ से $20 \times 15$ कट जाएगा।
👉 $H_2 = 8$ घंटे।
उत्तर: प्रतिदिन $8$ घंटे।
📌 छात्रों द्वारा की जाने वाली सामान्य गलतियाँ (Mistakes to Avoid)
- काम और समय वाले प्रश्नों में छात्र $1$ आदमी का काम निकालने के लिए भाग कर देते हैं, जबकि वहाँ गुणा करना चाहिए। ($1$ आदमी को काम करने में ज्यादा समय लगेगा)।
- MDH वाले सूत्र में 'मजदूरी (रुपये)' या 'काम की मात्रा (जैसे: $50$ खिलौने, $10$ गड्ढे)' को हमेशा सूत्र के नीचे (बटे में / Denominator) रखना चाहिए, ऊपर नहीं।
UPTET Maths: अध्याय 5 (भाग 2) - ऐकिक नियम के एडवांस प्रश्न और ट्रिक्स
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES में आपका एक बार फिर से स्वागत है। ऐकिक नियम (Unitary Method) के पिछले भाग में हमने बेसिक नियम और MDH ट्रिक को समझा था। UPTET Paper 1 परीक्षा में परीक्षक अक्सर भोजन/राशन सामग्री, काम छोड़कर जाने वाले मजदूरों और मजदूरी के बंटवारे से जुड़े उलझाने वाले प्रश्न पूछ लेता है। आज हम इन एडवांस प्रश्नों को चुटकियों में हल करने की शॉर्ट ट्रिक्स सीखेंगे।
1. 🏕️ सैनिकों / छात्रावास में भोजन सामग्री वाले प्रश्न (Food Provision Problems)
ये प्रश्न विलोम अनुपात (Inverse Proportion) पर आधारित होते हैं। ट्रिक यह है कि हमेशा "बचे हुए भोजन" या "शेष दिनों" पर फोकस करें।
हल (Short Trick):
👉 $10$ दिन बीत चुके हैं, इसलिए $200$ सैनिकों के लिए अब भोजन बचा है $= 30 - 10 = 20$ दिन का।
👉 नए सैनिकों की संख्या $= 200 + 50 = 250$ सैनिक।
अब MDH सूत्र से ($M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$):
👉 $$ 200 \times 20 = 250 \times D_2 $$
👉 $$ D_2 = \frac{4000}{250} $$
👉 $D_2 = 16$ दिन।
उत्तर: शेष भोजन 16 दिन चलेगा।
2. 🚶♂️ बीच में काम छोड़कर जाने / शामिल होने वाले प्रश्न
जब कोई व्यक्ति काम के बीच में छोड़कर चला जाता है, तो वहाँ भी हमें "बचे हुए काम" (Remaining Work) को आधार मानकर समीकरण बनाना होता है।
हल (Short Trick):
👉 $20$ दिन काम हो चुका है। अतः $40$ आदमियों का काम बचा है $= 50 - 20 = 30$ दिन का।
👉 बचे हुए आदमियों की संख्या $= 40 - 10 = 30$ आदमी।
समीकरण ($M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$):
👉 $$ 40 \times 30 = 30 \times D_2 $$
👉 दोनों तरफ से $30$ कट जाएगा।
👉 $D_2 = 40$ दिन।
उत्तर: शेष काम 40 दिन में पूरा होगा।
3. 💰 मजदूरी का बंटवारा (Distribution of Wages)
UPTET में मजदूरी (Wages) वाले प्रश्नों के लिए एक "स्वर्ण नियम" (Golden Rule) याद रखें: मजदूरी हमेशा किए गए काम (Work done) के अनुपात में बांटी जाती है, न कि काम में लगाए गए दिनों के आधार पर।
यहाँ भी हम $ \frac{M_1 \times D_1 \times H_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2 \times H_2}{W_2} $ वाले सूत्र का प्रयोग करेंगे, जहाँ $W$ का अर्थ मजदूरी (रुपये) है।
हल:
👉 $M_1 = 5, D_1 = 3, W_1 = 1500$ रुपये
👉 $M_2 = 8, D_2 = 5, W_2 = ?$ (पूछा गया है)
सूत्र में मान रखने पर:
👉 $$ \frac{5 \times 3}{1500} = \frac{8 \times 5}{W_2} $$
👉 $$ \frac{15}{1500} = \frac{40}{W_2} $$
👉 $$ \frac{1}{100} = \frac{40}{W_2} $$
तिरछा गुणा (Cross multiply) करने पर:
👉 $W_2 = 40 \times 100 = 4000$
उत्तर: $4000$ रुपये।
4. 🚀 परीक्षा के लिए मिश्रित अभ्यास (Mixed Practice)
प्रश्न 4: $1$ दर्जन (12) केलों का मूल्य $60$ रुपये है। $15$ केलों का मूल्य क्या होगा?
हल: यह सीधा अनुपात है।
👉 $12$ केलों का मूल्य $= 60$ रुपये
👉 $1$ केले का मूल्य $= \frac{60}{12} = 5$ रुपये
👉 $15$ केलों का मूल्य $= 15 \times 5 = 75$ रुपये। (उत्तर: $75$ रुपये)
प्रश्न 5 (Very Important): कुछ आदमी किसी काम को $60$ दिन में पूरा कर सकते हैं। यदि $8$ आदमी और होते, तो काम $10$ दिन पहले खत्म हो जाता। प्रारंभ में कितने आदमी थे?
हल:
👉 मान लें प्रारंभ में $x$ आदमी थे। ($M_1 = x, D_1 = 60$)
👉 बाद में आदमी हो गए $= (x + 8)$
👉 दिन $10$ कम लगे, यानी $D_2 = 60 - 10 = 50$ दिन
समीकरण ($M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$):
👉 $$ x \times 60 = (x + 8) \times 50 $$
👉 $$ 60x = 50x + 400 $$
👉 $$ 10x = 400 $$
👉 $x = 40$
उत्तर: प्रारंभ में 40 आदमी थे।
📌 निष्कर्ष और अंतिम टिप्स
- प्रश्न को हल करने से पहले यह जरूर सोचें कि उत्तर बढ़ने वाला है या घटने वाला। इससे कभी गलती नहीं होगी।
- सैनिकों के राशन वाले प्रश्नों में हमेशा 'बीते हुए दिनों' को घटाकर ही नया समीकरण बनाएं।
🔥 SK SACHIN CLASSES MEGA QUIZ 🔥
इस अध्याय (ऐकिक नियम - सम्पूर्ण) को अच्छी तरह समझने के बाद, हमारी वेबसाइट पर उपलब्ध पिछले वर्ष के टॉप 50 PYQ क्विज जरूर हल करें। इस क्विज में पिछली UPTET परीक्षाओं में पूछे गए सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न शामिल किए गए हैं।
अध्याय 05: ऐकिक नियम (Unitary Method) - Part 1 & 2
- 📝 कुल प्रश्न : 50
- ✅ सही उत्तर : 0
- ❌ गलत उत्तर : 0
- 📊 Accuracy : 0%
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