UPTET Maths: अध्याय 6 - प्रतिशत (Percentage) का सम्पूर्ण अध्ययन
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES में आपका स्वागत है। गणित में 'प्रतिशत (Percentage)' एक ऐसा अध्याय है जिसे 'अंकगणित की जान' कहा जाता है। UPTET Paper 1 में इस अध्याय से सीधे $2-3$ प्रश्न आते हैं, और इसके साथ ही 'लाभ-हानि' और 'ब्याज' जैसे अध्याय भी इसी पर टिके हैं। आज हम प्रतिशत को बिल्कुल बेसिक से लेकर एडवांस शॉर्ट ट्रिक्स तक समझेंगे।
1. प्रतिशत का अर्थ (Meaning of Percentage)
'प्रतिशत' दो शब्दों से मिलकर बना है: प्रति + शत। 'प्रति' का अर्थ है 'प्रत्येक' और 'शत' का अर्थ है 'सौ (100)'। अर्थात, प्रति सैकड़ा (हर $100$ पर) जो मान होता है, उसे प्रतिशत कहते हैं। इसे $\%$ चिह्न से दर्शाया जाता है।
- $x\%$ का मतलब है: $100$ में से $x$ हिस्सा।
- गणितीय रूप में: $$ x\% = \frac{x}{100} $$
2. प्रतिशत और भिन्न का रूपांतरण (Conversion: Fraction & Percentage)
UPTET परीक्षा में समय बचाने के लिए यह सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। आपको प्रतिशत को भिन्न (Fraction) में और भिन्न को प्रतिशत में बदलना आना चाहिए।
प्रतिशत का चिह्न हटाकर $100$ से भाग ($ \div $) देते हैं।
उदाहरण: $20\%$ को भिन्न में बदलें।
👉 $$ 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} $$
भिन्न में $100$ से गुणा ($ \times $) करते हैं और $\%$ का चिह्न लगाते हैं।
उदाहरण: $\frac{3}{4}$ को प्रतिशत में बदलें।
👉 $$ \frac{3}{4} \times 100\% = 3 \times 25\% = 75\% $$
🔥 UPTET के लिए महत्वपूर्ण भिन्न-प्रतिशत टेबल (इसे रट लें) 🔥
| भिन्न (Fraction) | प्रतिशत (Percentage) | भिन्न (Fraction) | प्रतिशत (Percentage) |
|---|---|---|---|
| $1$ | $100\%$ | $\frac{1}{6}$ | $16\frac{2}{3}\%$ या $16.66\%$ |
| $\frac{1}{2}$ | $50\%$ | $\frac{1}{8}$ | $12\frac{1}{2}\%$ या $12.5\%$ |
| $\frac{1}{3}$ | $33\frac{1}{3}\%$ या $33.33\%$ | $\frac{1}{9}$ | $11\frac{1}{9}\%$ या $11.11\%$ |
| $\frac{1}{4}$ | $25\%$ | $\frac{1}{10}$ | $10\%$ |
| $\frac{1}{5}$ | $20\%$ | $\frac{3}{4}$ | $75\%$ |
3. UPTET परीक्षा के पैटर्न पर आधारित प्रश्न और ट्रिक्स
टाइप 1: सामान्य प्रतिशत ज्ञात करना
प्रश्न 1: $500$ का $20\%$ कितना होगा?
हल: 'का' का मतलब गुणा ($ \times $) होता है।
👉 $$ 500 \times \frac{20}{100} = 5 \times 20 = 100 $$
ट्रिक: सीधे भिन्न टेबल का प्रयोग करें। $20\%$ का मतलब $\frac{1}{5}$ होता है। अतः $500$ का $\frac{1}{5} = 100$।
प्रश्न 2: $60$ का कितना प्रतिशत $15$ है?
हल: जिसके साथ 'का' या 'से' लगा हो, उसे हमेशा नीचे (हर में) रखते हैं।
👉 $$ \frac{15}{60} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25\% $$
टाइप 2: प्रतिशत वृद्धि या कमी (Percentage More / Less)
यह UPTET का सबसे पसंदीदा पैटर्न है।
Short Trick Formula: $$ \frac{R}{100 \pm R} \times 100 $$
(जहाँ R दिया गया प्रतिशत है। 'अधिक' दिया हो तो $+$, 'कम' दिया हो तो $-$ लगाते हैं।)
हल: प्रश्न में $25\%$ 'अधिक' दिया है, अतः $+$ लगाएंगे।
👉 $$ \frac{25}{100 + 25} \times 100 $$
👉 $$ \frac{25}{125} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20\% $$
उत्तर: $20\%$ कम है।
टाइप 3: लगातार वृद्धि या कमी (Successive Change)
जब किसी वस्तु के मूल्य में या आयत की लंबाई-चौड़ाई में लगातार दो बार बदलाव (प्रतिशत में) किया जाए, तो सक्सेसिव फॉर्मूला (Successive Formula) लगाते हैं:
$$ \text{कुल प्रभाव} \% = \pm x \pm y + \frac{(\pm x)(\pm y)}{100} $$
(नोट: वृद्धि के लिए $+$, कमी के लिए $-$ का प्रयोग करें।)
प्रश्न 4: एक आयत की लंबाई में $20\%$ की वृद्धि और चौड़ाई में $10\%$ की कमी की जाती है। उसके क्षेत्रफल पर क्या प्रभाव पड़ेगा?
हल: $x = +20$ (वृद्धि), $y = -10$ (कमी)
👉 $$ 20 - 10 + \frac{(20) \times (-10)}{100} $$
👉 $$ 10 - \frac{200}{100} $$
👉 $$ 10 - 2 = +8\% $$
चूँकि उत्तर $(+)$ धनात्मक है, अतः क्षेत्रफल में $8\%$ की वृद्धि होगी।
टाइप 4: परीक्षा में पास-फेल वाले प्रश्न
प्रश्न 5: एक परीक्षा में पास होने के लिए $36\%$ अंक चाहिए। एक छात्र ने $113$ अंक प्राप्त किए और वह $85$ अंकों से फेल हो गया। परीक्षा का पूर्णांक (Total Marks) क्या है?
हल:
👉 पास होने के लिए आवश्यक अंक $= 113$ (जो मिले) $+ 85$ (जिनसे फेल हुआ) $= 198$ अंक।
👉 प्रश्नानुसार, यह $198$ अंक कुल अंकों के $36\%$ के बराबर हैं।
👉 $36\% = 198$
👉 $1\% = \frac{198}{36} = 5.5$
👉 पूर्णांक हमेशा $100\%$ होता है, अतः $100\% = 5.5 \times 100 = 550$ अंक।
उत्तर: $550$ अंक।
टाइप 5: चुनाव वाले प्रश्न (Election Based Problems)
प्रश्न 6: एक चुनाव में दो उम्मीदवार थे। जीतने वाले को $60\%$ वोट मिले और वह $4000$ वोटों से जीत गया। कुल डाले गए वोटों की संख्या ज्ञात करें।
हल: मान लें कुल वोट $100\%$ थे।
👉 जीतने वाले को मिले $= 60\%$
👉 तो हारने वाले को मिले होंगे $= 100\% - 60\% = 40\%$
👉 जीत-हार का अंतर (Margin) $= 60\% - 40\% = 20\%$
👉 प्रश्नानुसार, यही $20\%$ वोटों का अंतर $4000$ वोटों के बराबर है।
👉 $20\% = 4000$
👉 $1\% = \frac{4000}{20} = 200$
👉 कुल वोट ($100\%$) $= 200 \times 100 = 20,000$
उत्तर: कुल वोट 20,000 थे।
📌 परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण बातें (Golden Rules)
- कोई भी वस्तु, आय, या पूर्णांक शुरुआत में हमेशा अपने आप में $100\%$ होता है।
- यदि किसी संख्या में $20\%$ की वृद्धि की जाती है, तो वह संख्या पुरानी संख्या का $120\%$ हो जाती है।
- यदि किसी संख्या में $10\%$ की कमी की जाती है, तो वह संख्या पुरानी संख्या का $90\%$ रह जाती है।
- $x$ का $y\%$ और $y$ का $x\%$ हमेशा बराबर होते हैं। (उदाहरण: $50$ का $20\%$ और $20$ का $50\%$ दोनों $10$ होते हैं
UPTET Maths: अध्याय 6 (भाग 2) - प्रतिशत के एडवांस प्रश्न और ट्रिक्स
प्रिय छात्रों, SK SACHIN CLASSES के इस विशेष अंक में आपका स्वागत है। UPTET 2026 की परीक्षा को ध्यान में रखते हुए, आज हम प्रतिशत (Percentage) के उन चुनिंदा और एडवांस टॉपिक्स को कवर करेंगे जो परीक्षा में बार-बार रिपीट होते हैं। इनमें मूल्य-खपत, जनसंख्या, मिश्रण और वेन आरेख वाले प्रश्न शामिल हैं। आइए इन्हें शॉर्ट ट्रिक्स के माध्यम से सेकंडों में हल करना सीखें।
1. मूल्य, खपत और खर्च वाले प्रश्न (Price & Consumption)
जब किसी वस्तु के मूल्य में वृद्धि या कमी होती है, और हमें अपना खर्च (Expenditure) समान रखना होता है, तो हमें अपनी खपत (Consumption) में बदलाव करना पड़ता है।
(यदि मूल्य में वृद्धि हो रही है तो नीचे $+$ लगाएं, और कमी हो रही है तो $-$ लगाएं।)
प्रश्न 1: चीनी के मूल्य में $25\%$ की वृद्धि हो जाती है। एक गृहिणी अपनी चीनी की खपत में कितने प्रतिशत की कमी करे ताकि उसका खर्च न बढ़े?
हल: मूल्य में $25\%$ की वृद्धि ($+$) हुई है।
👉 $$ \frac{25}{100 + 25} \times 100 $$
👉 $$ \frac{25}{125} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20\% $$
उत्तर: खपत में $20\%$ की कमी करनी होगी।
प्रश्न 2: पेट्रोल के दाम में $20\%$ की कमी आ गई। एक व्यक्ति अपनी खपत कितने प्रतिशत बढ़ा दे कि उसका खर्च पूर्ववत रहे?
हल: दाम में $20\%$ की कमी ($-$) हुई है।
👉 $$ \frac{20}{100 - 20} \times 100 $$
👉 $$ \frac{20}{80} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25\% $$
उत्तर: खपत $25\%$ बढ़ानी होगी।
2. जनसंख्या वृद्धि और मशीन का अवमूल्यन (Population & Depreciation)
ऐसे प्रश्नों में हम भिन्न विधि (Fraction Method) या चक्र वृद्धि के सूत्र का उपयोग करते हैं।
हल (Short Trick):
👉 $10\%$ को भिन्न में बदलें: $10\% = \frac{1}{10}$
इसका अर्थ है कि हर साल जनसंख्या $10$ से बढ़कर $11$ हो जाती है।
👉 पहले साल: $10 \rightarrow 11$
👉 दूसरे साल: $10 \rightarrow 11$
👉 गुणा करें: $100 \rightarrow 121$
यहाँ प्रारंभिक मान $100$ यूनिट है, जो प्रश्न में $10,000$ के बराबर है।
👉 $100 \text{ यूनिट} = 10000 \rightarrow 1 \text{ यूनिट} = 100$
👉 $2$ वर्ष बाद (अंतिम मान) $= 121 \times 100 = 12,100$
उत्तर: $12,100$
हल:
👉 कमी हो रही है, $10\% = \frac{1}{10}$ (यानी $10$ से घटकर $9$ हो रही है)।
👉 $2$ साल का प्रभाव: $100 \rightarrow 81$
👉 प्रश्नानुसार, वर्तमान (घटा हुआ) मूल्य $81$ यूनिट $= 8100$ रुपये है।
👉 $1 \text{ यूनिट} = 100$ रुपये।
👉 प्रारंभिक ($2$ वर्ष पूर्व) मूल्य $= 100 \times 100 = 10,000$ रुपये।
उत्तर: $10,000$ रुपये।
3. वेन आरेख पर आधारित प्रश्न (Venn Diagram / Pass-Fail)
जब किसी परीक्षा में दो अलग-अलग विषयों में पास या फेल होने वाले छात्रों का प्रतिशत दिया हो, तो यह ट्रिक काम आती है।
सूत्र:
प्रश्न 5: किसी परीक्षा में $40\%$ छात्र गणित में फेल हुए, $30\%$ छात्र अंग्रेजी में फेल हुए, और $10\%$ छात्र दोनों विषयों में फेल हुए। दोनों विषयों में पास होने वाले छात्रों का प्रतिशत ज्ञात करें।
हल:
👉 केवल गणित में फेल $= 40\% - 10\% \text{ (दोनों वाले)} = 30\%$
👉 केवल अंग्रेजी में फेल $= 30\% - 10\% \text{ (दोनों वाले)} = 20\%$
👉 दोनों में फेल $= 10\%$
👉 कुल फेल छात्र $= 30\% + 20\% + 10\% = 60\%$
👉 कुल छात्र $100\%$ होते हैं, अतः दोनों विषयों में पास छात्र $= 100\% - 60\% = 40\%$
उत्तर: $40\%$ छात्र पास हुए।
4. मिश्रण वाले प्रश्न (Mixture Problems)
ऐसे प्रश्नों में उस वस्तु की मात्रा को समान (Constant) रखा जाता है जिसे न तो मिलाया गया है और न ही निकाला गया है।
प्रश्न 6: $50$ लीटर नमक और पानी के मिश्रण में $20\%$ नमक है। इसमें कितना पानी और मिलाया जाए कि नमक की मात्रा $10\%$ रह जाए?
हल (Smart Trick):
चूँकि "पानी" मिलाया जा रहा है, इसलिए "नमक" की मात्रा (वजन में) समान रहेगी।
👉 प्रारंभिक मिश्रण में नमक $= 50 \times 20\% = 10$ लीटर।
👉 मान लें पानी मिलाने के बाद नया मिश्रण $X$ लीटर हो गया।
👉 नए मिश्रण में नमक $10\%$ है, जो पुराने नमक (10 लीटर) के ही बराबर होगा।
👉 $X \text{ का } 10\% = 10$
👉 $$ X \times \frac{10}{100} = 10 $$
👉 $X = 100$ लीटर।
👉 नया मिश्रण $100$ लीटर है और पुराना $50$ लीटर था। अतः मिलाया गया पानी $= 100 - 50 = 50$ लीटर।
उत्तर: $50$ लीटर पानी मिलाना होगा।
📌 निष्कर्ष (Conclusion)
- खर्च और खपत वाले प्रश्नों में सूत्र का सही प्रयोग समय बचाता है।
- वेन आरेख वाले प्रश्नों में हमेशा ध्यान दें कि प्रतिशत 'पास' का दिया है या 'फेल' का। दोनों को एक ही इकाई (Unit) में बदलकर हल करें।
🔥 SK SACHIN CLASSES MEGA QUIZ 🔥
प्रतिशत के बेसिक (Part 1) और एडवांस (Part 2) नियमों को अच्छे से पढ़ने के बाद, अब समय है अभ्यास का! जल्द ही हम आपके लिए इसी अध्याय के पिछले वर्षों के टॉप 50 मिक्स प्रश्न (PYQ) का मेगा क्विज पब्लिश करेंगे। जुड़े रहें!
अध्याय 06: प्रतिशत (Percentage) - Part 1 & 2
- 📝 कुल प्रश्न : 50
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