अध्याय 02 - लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) एवं महत्तम समापवर्तक (HCF) सम्पूर्ण मास्टर क्लास
SK SACHIN CLASSES में आपका स्वागत है। UPTET Paper 1 की परीक्षा में 'ल.स.प. (LCM) और म.स.प. (HCF)' से हर साल कम से कम 2 से 3 प्रश्न जरूर पूछे जाते हैं—खासकर घंटी बजने वाले, चौराहे की बत्ती वाले और भिन्नों वाले प्रश्न। आज के इस विस्तृत लेख में हम इन सभी प्रकार के प्रश्नों को हल करने की 'रामबाण ट्रिक्स' और बेसिक कॉन्सेप्ट्स सीखेंगे।
1. अपवर्त्य (Multiples) और अपवर्तक (Factors) क्या हैं?
LCM और HCF को समझने से पहले इन दोनों शब्दों को समझना जरूरी है:
- अपवर्त्य (Multiple - गुणज): किसी संख्या के पहाड़े में आने वाली सभी संख्याएँ उस संख्या के अपवर्त्य कहलाती हैं।
- उदाहरण: 4 के अपवर्त्य = 4, 8, 12, 16, 20... (ये अनंत होते हैं)।
- अपवर्तक (Factor - गुणनखंड): कोई संख्या जिन-जिन संख्याओं से पूरी तरह कट जाए, वे संख्याएँ उसके अपवर्तक कहलाती हैं।
- उदाहरण: 12 के अपवर्तक = 1, 2, 3, 4, 6, 12 (ये सीमित होते हैं)।
2. लघुत्तम समापवर्त्य - ल.स. (Least Common Multiple - LCM)
परिभाषा: वह छोटी से छोटी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाए, उन संख्याओं का ल.स. कहलाती है।
-
उदाहरण: 12 और 16 का LCM क्या होगा?
- 12 के अपवर्त्य: 12, 24, 36, 48, 60...
- 16 के अपवर्त्य: 16, 32, 48, 64...
- दोनों में सबसे पहला और सबसे छोटा कॉमन (Common) अपवर्त्य 48 है। अतः LCM = 48.
LCM निकालने की भाग विधि (Division Method):
UPTET में समय बचाने के लिए यह सबसे बेहतरीन विधि है। सभी संख्याओं को एक साथ रखकर अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7...) से तब तक भाग देते हैं जब तक कि नीचे 1, 1 न आ जाए। अंत में सभी भाजकों का गुणा कर लेते हैं।
3. महत्तम समापवर्तक - म.स. (Highest Common Factor - HCF)
परिभाषा: वह बड़ी से बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को पूरी तरह विभाजित कर दे (यानी काट दे), उन संख्याओं का म.स. कहलाती है।
- उदाहरण: 24 और 36 का HCF क्या होगा?
- वह सबसे बड़ी संख्या जिसके पहाड़े में 24 और 36 दोनों आते हों, वह 12 है। (12 × 2 = 24, 12 × 3 = 36)। अतः HCF = 12.
🔥 रामबाण ट्रिक: दो लगातार (क्रमागत) प्राकृतिक संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है (जैसे 15 और 16)। दो सह-अभाज्य (Co-prime) संख्याओं का HCF भी हमेशा 1 होता है।
4. UPTET का सबसे महत्वपूर्ण फॉर्मूला (VVIP)
जब आपको दो संख्याएं दी गई हों और उनका ल.स. व म.स. निकालना हो, तो यह फॉर्मूला हमेशा याद रखें:
पहली संख्या × दूसरी संख्या = ल.स. (LCM) × म.स. (HCF)
- UPTET PYQ उदाहरण: दो संख्याओं का HCF 11 और LCM 693 है। यदि एक संख्या 77 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।
- हल: 77 × दूसरी संख्या = 11 × 693 ➡️ दूसरी संख्या = (11 × 693) / 77 = 99
5. भिन्नों का ल.स. और म.स. (Fractions LCM & HCF)
यहाँ छात्र सबसे ज्यादा गलती करते हैं। जिस चीज़ को पूछा जाए, ऊपर वाले (अंश) का वही निकालना है और नीचे वाले (हर) का उसका उल्टा।
- भिन्नों का ल.स. (LCM) = (अंशों का ल.स.) / (हरों का म.स.)
- भिन्नों का म.स. (HCF) = (अंशों का म.स.) / (हरों का ल.स.)
उदाहरण: 2/3, 4/9 और 5/6 का LCM क्या होगा?
- हल: अंशों (2, 4, 5) का LCM = 20. हरों (3, 9, 6) का HCF = 3. अतः उत्तर = 20/3
6. घातांकों (Powers) का ल.स. और म.स.
-
यदि आधार (Base) समान हो:
- LCM: सबसे बड़ी घात (Power) वाली संख्या LCM होती है। (जैसे: 2^3, 2^5, 2^8 का LCM = 2^8)
- HCF: सबसे छोटी घात वाली संख्या HCF होती है। (जैसे: 2^3, 2^5, 2^8 का HCF = 2^3)
7. इबारती (Word Problems) प्रश्नों के लिए 'जादुई कीवर्ड्स'
UPTET में जब लंबी भाषा वाला प्रश्न आए, तो उसमें छिपे इन शब्दों को पकड़ें:
- HCF निकालें: जब प्रश्न में "बड़ी से बड़ी", "अधिकतम", "समान आकार", "बर्तन की अधिकतम क्षमता" या "लंबा फीता" जैसे शब्द हों।
- LCM निकालें: जब प्रश्न में "छोटी से छोटी", "कम से कम", "न्यूनतम", "घंटियों का एक साथ बजना", या "चौराहे की बत्ती का एक साथ बदलना" जैसे शब्द हों।
ल.स. और म.स. के महत्वपूर्ण उदाहरण (UPTET PYQ)
उदाहरण 1: (घंटियों वाला प्रश्न - UPTET का सबसे पसंदीदा)
प्रश्न: 3 चौराहों की ट्रैफिक लाइटें क्रमशः 10 मिनट, 12 मिनट और 15 मिनट के अंतराल पर बदलती हैं। यदि वे सुबह 8:00 बजे एक साथ बदली हों, तो अगली बार वे एक साथ कब बदलेंगी?
हल (रामबाण ट्रिक): जब भी प्रश्न में "एक साथ" या "कम से कम समय" पूछा जाए, तो हमेशा संख्याओं का ल.स. (LCM) निकालते हैं।
- 10, 12 और 15 का LCM = 60
- इसका मतलब है कि वे ठीक 60 मिनट (यानी 1 घंटे) बाद फिर से एक साथ बदलेंगी।
- उत्तर: सुबह 8:00 बजे + 1 घंटा = सुबह 9:00 बजे
उदाहरण 2: (शेषफल वाला प्रश्न)
प्रश्न: वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 8 और 12 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 2 शेष बचे।
हल: "छोटी से छोटी संख्या" का मतलब है कि हमें LCM निकालना है।
- सबसे पहले 6, 8 और 12 का LCM निकालें = 24
- चूँकि हर बार 2 शेष बचना चाहिए, इसलिए इस 2 को LCM में जोड़ देंगे।
- उत्तर: अभीष्ट संख्या = 24 + 2 = 26
उदाहरण 3: (UPTET मास्टर फॉर्मूला)
प्रश्न: दो संख्याओं का ल.स. (LCM) 1920 और म.स. (HCF) 16 है। यदि इनमें से एक संख्या 128 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
हल (सूत्र द्वारा): हमें पता है कि: पहली संख्या × दूसरी संख्या = ल.स. × म.स.
- 128 × दूसरी संख्या = 1920 × 16
- दूसरी संख्या = (1920 × 16) / 128
- दूसरी संख्या = 30720 / 128 = 240
- उत्तर: दूसरी संख्या 240 होगी।
उदाहरण 4: (भिन्नों का ल.स.)
प्रश्न: 2/3, 4/9 और 5/6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या होगा?
हल: भिन्नों का LCM निकालने के लिए सूत्र है: (अंशों का LCM) / (हरों का HCF)
- ऊपर वाले अंशों (2, 4, 5) का LCM = 20
- नीचे वाले हरों (3, 9, 6) का HCF = 3 (3 वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे ये तीनों कट जाएंगे)
- उत्तर: भिन्नों का LCM = 20/3
उदाहरण 5: (माप / नापने वाला प्रश्न)
प्रश्न: तीन अलग-अलग ड्रमों में क्रमशः 36 लीटर, 45 लीटर और 72 लीटर दूध है। वह बड़े से बड़ा बर्तन किस माप का होगा जो सभी ड्रमों के दूध को पूरा-पूरा नाप सके?
हल: जब भी "बड़े से बड़ा" या "अधिकतम माप" पूछा जाए, तो हमेशा महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालते हैं।
- 36, 45 और 72 का HCF निकालना है।
- वह सबसे बड़ी संख्या जिसके पहाड़े में ये तीनों आते हैं, वह 9 है। (9×4=36, 9×5=45, 9×8=72)
- उत्तर: उस बड़े से बड़े बर्तन की माप 9 लीटर होगी।
अध्याय 2: UPTET Top 50 PYQ इंटरेक्टिव क्विज
अध्याय 02: लघुत्तम समापवर्त्य एवं महत्तम समापवर्तक
- 📝 कुल प्रश्न : 50
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